一、基本概念
graph LR
原函数[原函数]-- 求导 --> 被积函数
被积函数 -- 不定积分 --> 原函数
原函数
设 , 若 使得 , 则称 是 在 上的一个原函数.
全体原函数
设 是 在 上的一个原函数, 则 为任意常数)为 在 上的全体原函数.
Proof:
令 为任意原函数
不定积分
设 存在原函数, 则 的全体原函数称为 的不定积分, 记作 $$\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$$
- 一不定积分号
- 一被积函数
- 一积分变量
被积表达式
设 是 在 上的一个原函数, 则
不定积分与微分运算互逆
Proof:
若可导, 则 $$\displaystyle \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$$
即: $$\displaystyle \int d(f(x)+C)=f(x)+C$$
若 存在原函数, 则 $$\left(\int f(x) d x\right)^{\prime}=f(x)$$
即: $$d \int f(x) d x=f(x) d x$$
不定积分的线性运算
若 在 上存在原函数, 则对任意 有
不定积分表
-
;
-
;
常用形式:
-
-
-
-
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
P.S.
-
;
-
;
-
.
补充不定积分
例题
Solution
Solution
Solution
二、换元积分法
第一代换法 / 凑微分法
若 , 而 可导, 则
或
- 分析
Analysis
- 运算步骤\int f(\varphi(x)) \textcolor{orange}{\varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x}&=\int f(\varphi(x)) \textcolor{orange}{\mathrm{d} \varphi(x)} \
&\xlongequal{u=\textcolor{orange}{\varphi(x)}}\int f(\textcolor{orange}u) \mathrm{d} \textcolor{orange}u=F(u)+C \
&\xlongequal{\text{回代}}F(\textcolor{orange}{\varphi(x)})+C .
\end
Solution
Solution
Solution
Solution
Solution 凑微分
凑
Solution 添项
Solution 配方
Solution
分式上下同时除去,凑微分+配方:
设 原函数为
在连续此时趋近正负无穷从而原函数
下说明
由于
又 在 连续:
(运用 #导数极限定理: 导函数极限->导数极限)
第二代换法/换元积分法
已知右端求左端积分为第一代换法; 已知左端, 能否求右端积分呢? 此即下面的第二换元法.
若 , 又 , 且 , 则
已知回代
Proof
例题
含无理式
和
时, 可采用
和
等三角代换去根号.
Solution
令
Tip
![../res/fa0176bmp.png|250](/img/user/res/fa0176bmp.png)
Solution
令原式
Solution
法I.配方
原式或:
法II.灵机一动
注意到:
令
原式Tip
上述例子很好地说明了原函数可不唯一(不同)
Solution
三、分部积分法
若 连续, 则
- 记忆
- .
- 前后相乘 - ∫ 交换位置
- 凑微分函数依次是: 指数函数, 三角函数, 幕函数,对数函数, 反三角函数.
- 证明
Proof
有即
例题
Solution
Solution
合并分部积分合并分部积分
例12 求 .
Solution
其中:
Solution
其中故原式
Soution
=>习题P154.3.(6)
Solution
TIP
实际上可以使用 #三角代换 配合 #万能变换
简略过程如下:
令
原式